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百度之星 资格赛 1006  

2015-05-26 15:38:38|  分类: ACM/C/C++/OJ |  标签: |举报 |字号 订阅

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http://bestcoder.hdu.edu.cn/contests/contest_showproblem.php?cid=584&pid=1006
演算过程:

考虑这么一个 14 位数 02565413989732 ,如图所示,它的数字先逐渐变大,然后开始变小,再变大,再变小,再变大,再变小。我们就说,它一共包含了 6 个单调区间。我们的问题就是:一个 n 位数平均有多少个单调区间?为了避免歧义,我们假设任意两位相邻的数字都不相同,因而像 77765589911 这样的数我们就不考虑了。另外,大家可能已经注意到了,我们允许这个 n 位数以数字 0 开头。因而,更精确地说,我们的问题是:相邻数字都不相同的、允许以 0 开头的所有 n 位数当中,平均有多少个单调区间?

      

    这个题目来自 1987 年 IMO 候选题。


 

    让我们把所有这种 n 位数的个数记作 N 。那么 N 等于多少?这个 n 位数的第一位有 10 种选择,今后的每一位都只有 9 种选择(因为要跟前一位不一样),因而 n 位数一共有 N = 10 · 9n-1 个。接下来,我们要求的就是,所有 n 位数当中的所有单调区间一共有多少个。我们换一种方法来累计这些单调区间:先算所有从第一位开始的单调区间,再算所有从第二位开始的单调区间,等等,最后算所有从第 n 位开始的单调区间。如果用 ri 来表示所有从第 i 位开始的单调区间的数目,那么我们要求的平均单调区间数就是 (r1 + r2 + … + rn) / N ,也就是 r1 / N + r2 / N + … + rn / N 。注意到其中的每一项 ri / N 其实就是从 N 个合法的 n 位数中任取一个后,存在以第 i 位数打头的单调区间的概率。因此,我们只需要求出这 n 个概率值,加起来便是我们想要的答案了。

    显然, r1 / N = 1 ,因为第一位数字必然会引领一个单调区间。显然, rn / N = 0 ,因为最后一位数字不可能引领一个新的单调区间。那么,对于其他的 ri / N 呢?注意到,第 i – 1 位、第 i 位和第 i + 1 位的大小关系一共可能有以下四种情况:

      

    其中,只有第三种情况和第四种情况下,第 i 位才会成为一个新的单调区间的开始。为了计算这两种情况发生的概率,我们只需要算出情况 1 和情况 2 发生的概率,再用 1 来减即可。情况 1 发生的概率有多大呢?三位数字串一共有 10 · 92 个(第一位有 10 种选择,后面的每一位都只有 9 种选择,因为要跟前一位不一样)。为了得到递增的数字串,我们只需要选出三个不同的数字,然后把它们从小到大排列即可,这一共有 C(10, 3) 种方法。因此,情况 1 的发生概率就是 C(10, 3) / (10 · 92) = 4/27 。同理,情况 2 的发生概率也是 4/27 ,两者加起来就是 8/27 ;反过来,情况 3 和情况 4 出现的概率就是 1 – 8/27 = 19/27 了。

    因此,我们最终要求的答案就是 1 + 19/27 + 19/27 + … + 19/27 + 0 = 1 + (n – 2) · 19/27 。

 
    这个结论还会引出很多有意思的问题。在一个 29 位数当中,平均会产生 20 个单调区间。我们似乎发现了一个很不合理的地方:这岂不意味着,平均每个单调区间的长度只有 29/20 = 1.45 个数字吗?考虑到单调区间的长度不可能恰好是 1.45 个数字,为了得到 1.45 这个平均长度,一定有些区间的长度比 1.45 小,有些区间的长度比 1.45 大。有些区间的长度比 1.45 小,这不就意味着这些区间的长度为 1 吗?而一个区间的长度显然是不可能为 1 的。怎么回事?

    其实, 29/20 = 1.45 这个算式是错的。在这 20 个单调区间中,除了最后一个区间以外,每一个区间的最后一个数与下一个区间的第一个数都是公共的。因此,这个 29 位数当中,有 19 个数被重复使用了。所以,在一个 29 位数当中,单调区间的平均长度应该是 (29 + 19) / 20 = 2.4 。

    类似的, n 位数的单调区间的平均长度为 (n + (19/27)(n – 2)) / (1 + (19/27)(n – 2)) = (46n – 38) / (19n – 11) = (46 – 38/n) / (19 – 11/n) 。当 n 无穷大时,其极限为 46/19 。

引用:http://www.matrix67.com/blog/archives/5296


代码:
#include <stdio.h>

int main()
{
int icase;
scanf("%d",&icase);
for(int ic = 0; ic < icase ; ++ic)
{
printf("Case #%d:\n",ic+1);
int n;
scanf("%d",&n);
double count = 1+(n-2)*19.0/27.0;
double lenth = (46.0-38.0/n)/(19.0-11.0/n);
printf("%.6lf %.6lf\n",count,lenth);
}
return 0;
}
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