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双调欧几里得旅行商问题(动态规划)百度之星2014资格赛 磁盘读写1002  

2014-05-19 21:50:30|  分类: ACM/C/C++/OJ |  标签: |举报 |字号 订阅

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题目:

Problem Description 
有很多从磁盘读取数据的需求,包括顺序读取、随机读取。为了提高效率,需要人为安排磁盘读取。然而,在现实中,这种做法很复杂。我们考虑一个相对简单的场景。 
磁盘有许多轨道,每个轨道有许多扇区,用于存储数据。当我们想在特定扇区来读取数据时,磁头需要跳转到特定的轨道、具体扇区进行读取操作。为了简单,我们假设磁头可以在某个轨道顺时针或逆时针匀速旋转,旋转一周的时间是360个单位时间。磁头也可以随意移动到某个轨道进行读取,每跳转到一个相邻轨道的时间为400个单位时间,跳转前后磁头所在扇区位置不变。一次读取数据的时间为10个单位时间,读取前后磁头所在的扇区位置不变。磁头同时只能做一件事:跳转轨道,旋转或读取。 
现在,需要在磁盘读取一组数据,假设每个轨道至多有一个读取请求,这个读取的扇区是轨道上分布在 0到359内的一个整数点扇区,即轨道的某个360等分点。磁头的起始点在0轨道0扇区,此时没有数据读取。在完成所有读取后,磁头需要回到0轨道0扇区的始点位置。请问完成给定的读取所需的最小时间。 
Input 
输入的第一行包含一个整数M(0<M<=100),表示测试数据的组数。 
对于每组测试数据,第一行包含一个整数N(0<N<=1000),表示要读取的数据的数量。之后每行包含两个整数T和S(0<T<=1000,0<= S<360),表示每个数据的磁道和扇区,磁道是按升序排列,并且没有重复。 
 Output 
对于每组测试数据,输出一个整数,表示完成全部读取所需的时间。 
 Sample Input 


1 10 

1 20 
3 30 
5 10 

1 10 
2 11 
 Sample Output 
830 
4090 
1642 

下面来讲述双调旅行商问题,也就是这题的思想。

双调欧几里得旅行商问题是一个经典动态规划问题。《算法导论(第二版)》思考题15-1和北京大学OJ2677都出现了这个题目。

旅行商问题描述:平面上n个点,确定一条连接各点的最短闭合旅程。这个解的一般形式为NP的(在多项式时间内可以求出)

J.L. Bentley 建议通过只考虑双调旅程(bitonictour)来简化问题,这种旅程即为从最左点开始,严格地从左到右直至最右点,然后严格地从右到左直至出发点。下图(b)显示了同样的7个点的最短双调路线。在这种情况下,多项式的算法是可能的。事实上,存在确定的最优双调路线的O(n*n)时间的算法。

上图中,a是最短闭合路线,这个路线不是双调的。b是最短双调闭合路线。


求解过程:

(1)首先将各点按照x坐标从小到大排列,时间复杂度为O(nlgn)。

(2)寻找子结构:定义从Pi到Pj的路径为:从Pi开始,从右到左一直到P1,然后从左到右一直到Pj。在这个路径上,会经过P1到Pmax(i,j)之间的所有点且只经过一次。

在定义d(i,j)为满足这一条件的最短路径。我们只考虑i>=j的情况。

同时,定义dist(i,j)为点Pi到Pj之间的直线距离。

(3)最优解:我们需要求的是d(n,n)。

关于子问题d(i,j)的求解,分三种情况:

A、当j < i - 1时,d(i,j) = d(i-1,j) + dist(i - 1,i)。

由定义可知,点Pi-1一定在路径Pi-Pj上,而且又由于j<i-1,因此Pi的左边的相邻点一定是Pi-1.因此可以得出上述等式。

B、当j = i - 1时,与Pi左相邻的那个点可能是P1到Pi-1总的任何一个。因此需要递归求出最小的那个路径:

d(i,j) = d(i,i-1) = min{d(k,j) + dist(i,k)},其中1 <= k <= j。

C、当j=i时,路径上最后相连的两个点可能是P1-Pi、P2-Pi...Pi-1-Pi。

因此有:

d(i,i) = min{d(i,1)+dist(1,i),...,d(i,i-1),dist(i-1,i)}.。


下面以北京大学OJ2677 Tour为例,编程实现(C++):

AC代码:

//双调欧几里得旅行商问题

//《算法导论(第二版)》思考题15-1

//PKU 2677


#include <iostream>

#include <cmath>

#include <iomanip>


using namespace std;


const int n = 7;//点的数目

const int MaxVal = 999999;

const int MaxLen = 201;


struct tagPoint{

double x,y;

};


//计算点i和点j之间的直线距离

double distance(tagPoint *points,int i,int j)

{

return sqrt((points[i].x - points[j].x) * (points[i].x - points[j].x) +

(points[i].y - points[j].y) * (points[i].y - points[j].y));

}


double DP(tagPoint *points,int n)

{

double b[MaxLen][MaxLen];//记录最短路径的长度

//计算所有情况下的b[i][j],1 <= i <= j

//初始化

b[1][2] = distance(points,1,2);

for (int j = 3;j <= n;++j)

{

//i < j-1

for (int i = 1;i <= j - 2;++i)

{

b[i][j] = b[i][j - 1] + distance(points,j - 1,j);

}

//i = j - 1,b[i][j] = min(b[k][j - 1] + distance(k,j));

b[j - 1][j] = MaxVal;

for (int k = 1;k <= j - 2;++k)

{

double temp = b[k][j - 1] + distance(points,k,j);

if (temp < b[j - 1][j])

{

b[j - 1][j] = temp;

}

}

}


b[n][n] = b[n - 1][n] + distance(points,n - 1,n);


return b[n][n];

}


int main()

{

int NUM;

while(cin >> NUM)

{

tagPoint *points = new tagPoint[NUM + 1];

for (int i = 1;i <= NUM;++i)

{

cin >> points[i].x;

cin >> points[i].y;

}

double minDis = DP(points,NUM);

//设置输出格式:精确到小数点后2位

cout.setf(ios::fixed);

cout << setprecision(2) << minDis << endl;

}

}


百度之星资格赛1002的AC代码:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=1000+5;
int inf=1<<29;
int dp[maxn][maxn];
int d[maxn][maxn];
int x[maxn],y[maxn];
int dist(int i,int j){
  return abs(x[i]-x[j])*400+min(abs(y[i]-y[j]),360-abs(y[i]-y[j]));
}
int main(){
  //freopen("a.txt","r",stdin);
  int n;
    int kase;
    cin>>kase;
  while(kase--){
    cin>>n;
    n++;
    for(int i=2;i<=n;i++)
      scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=i+1;j<=n;j++)
        d[j][i]=d[i][j]=dist(i,j);
    for(int i=0;i<=n;i++)
      for(int j=0;j<=n;j++)
        dp[i][j]=inf;
    dp[2][3]=dp[1][3]=d[1][2]+d[2][3]+d[1][3];
    for(int i=4;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<i-1;j++){
          dp[j][i]=min(dp[j][i],dp[j][i-1]+d[j][i]+d[i][i-1]-d[i-1][j]);
        dp[i-1][i]=min(dp[i-1][i],dp[j][i]);
      }
    int ans=inf;
    if(n==2)
      ans=2*dist(1,2);
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
      ans=min(ans,dp[i][n]);
    printf("%d\n",ans+(n-1)*10);
  }
}
参考文献:http://blog.csdn.net/xiajun07061225/article/details/8092247
http://www.tuicool.com/articles/mUJJj2a
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