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力的博客

小歇一会 heiheidemaolv

 
 
 

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HDU 3600 Simple Puzzle 归并排序 N*N数码问题  

2012-04-13 00:01:56|  分类: ACM/C/C++/OJ |  标签: |举报 |字号 订阅

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http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3600

先介绍八数码问题:

我们首先从经典的八数码问题入手,即对于八数码问题的任意一个排列是否有解?有解的条件是什么?

我在网上搜了半天,找到一个十分简洁的结论。八数码问题原始状态如下:

1 2 3
4 5 6
7 8

为了方便讨论,我们把它写成一维的形式,并以0代替空格位置。那么表示如下:

1 2 3 4 5 6 7 8 0

通过实验得知,以下状态是无解的(交换了前两个数字1 2):

2 1 3 4 5 6 7 8 0

八数码问题的有解无解的结论:

一个状态表示成一维的形式,求出除0之外所有数字的逆序数之和,也就是每个数字前面比它大的数字的个数的和,称为这个状态的逆序。

若两个状态的逆序奇偶性相同,则可相互到达,否则不可相互到达。

由于原始状态的逆序为0(偶数),则逆序为偶数的状态有解。

也就是说,逆序的奇偶将所有的状态分为了两个等价类,同一个等价类中的状态都可相互到达。

简要说明一下:当左右移动空格时,逆序不变。当上下移动空格时,相当于将一个数字向前(或向后)移动两格,跳过的这两个数字要么都比它大(小),逆序可能±2;要么一个较大一个较小,逆序不变。所以可得结论:只要是相互可达的两个状态,它们的逆序奇偶性相同。我想半天只能说明这个结论的必要性,详细的证明请参考后面的附件。

>推广二维N×N的棋盘

我们先来看看4×4的情况,同样的思路,我们考虑移动空格时逆序的变化情况。

1 2 3 4
5 6 7 8
9 A B C
D E F

我们用字母A~F代替数字10~15。同样地,当左右移动的时候,状态的逆序不改变。而当上下移动的时候,相当于一个数字跨过了另外三个格子,它的逆序可能±3或±1,逆序的奇偶性必然改变。那么又该如何

1 2 3 4
5 6 7 8
9 A B
C D E F

可以证明,以上状态是一个无解的状态(将C移到了第四行)。该状态的逆序为0,和原始状态相同,但是它的空格位置在第三行。若将空格移到第四行,必然使得它的逆序±1或±3,奇偶性必然改变。所以它是一个无解的状态。

然而以下状态就是一个有解的状态(交换了前两个数字1 2):

2 1 3 4
5 6 7 8
9 A B
C D E F

这个状态的逆序为1,和原始状态奇偶性不同,而空格位置在第三行。由于空格每从第三行移动到第四行,奇偶性改变。则该状态的可到达原始状态。

通过观察,得出以下结论:

N×N的棋盘,N为奇数时,与八数码问题相同。

N为偶数时,空格每上下移动一次,奇偶性改变。称空格位置所在的行到目标空格所在的行步数为空格的距离(不计左右距离),若两个状态的可相互到达,则有,两个状态的逆序奇偶性相同且空格距离为偶数,或者,逆序奇偶性不同且空格距离为奇数数。否则不能。

也就是说,当此表达式成立时,两个状态可相互到达:(状态1奇偶性==状态2奇偶性)==(空格距离%2==0)。

此结论只是由观察得知的,但是还没证明过,请高手指点。

另外再详细说明一下,无论N是奇数还是偶数,空格上下移动,相当于跨过N-1个格子。那么逆序的改变可能为一下值±N-1,±N-3,±N-5 …… ±N-2k-1。当N为奇数数时N-1为偶数,逆序改变可能为0;当N为偶数时N-1为奇数,逆序的改变不能为0,只能是奇数,所以没上下移动一次奇偶性必然改变。

>推广到三维N×N×N

其实,三维的结论和二维的结论是一样的。

考虑左右移动空格,逆序不变;同一层上下移动空格,跨过N-1个格子;上下层移动空格,跨过N^2-1个格子。

当N为奇数时,N-1和N^2-1均为偶数,也就是任意移动空格逆序奇偶性不变。那么逆序奇偶性相同的两个状态可相互到达。

当N为偶数时,N-1和N^2-1均为奇数,也就是令空格位置到目标状态空格位置的y z方向的距离之和,称为空格距离。若空格距离为偶数,两个逆序奇偶性相同的状态可相互到达;若空格距离为奇数,两个逆序奇偶性不同的状态可相互到达。

讨论到这里,题目问题也就解决了。

另外水木清华BBS论坛中有人提到:

8数码难题搜索时,有时候是无解的,8数码问题总共有9!种状态,如果用计算机一
个一个去搜索去判断哪些有解哪些误解,无疑要花费很长的时间,也没必要。作为一种
智力游戏,玩之余,我在想,能否通过事先的分析来判断哪些问题有解,哪些问题无解
呢?对于有解的问题,是否能通过一种固定的步骤来得到解?经过昨天晚上和今天的仔
细分析,我觉得我已经得到了这个问题的初步解答,下面我公布一下我得到的结果和证
明,抛砖引玉,如果大家发现其中有什么问题,欢迎来我宿舍一起讨论或者给我发Emai
l。
我的证明分好几个步骤,恳请大家能够耐心的看下去,我会尽量说得简洁一点。

一、我的结论
我们将九宫格按行排成一行共九个数(空格也占一个位置,在本文种,我用@表示空
格)。比如: 1 2 3 4 @ 5 => 1 2 3 4 @ 5 6 7 8 6 7 8 这样
,九宫格的每一种状态和上图的行之间是一一对应的。在代数上册我们学过逆序的概念
,也就是对于任意一对数,如果前面的数比后面的数大,则为一对逆序。对于一个序列
,我们定义其逆序奇偶性如下: 如果其中有奇数对逆序,称之逆序奇;如果其中有
偶数对逆序,称之为逆序偶。这样,对于1,2,...,n这n个数,其所有的排列可以分为
两类,逆序奇类和逆序偶类。相对应的,九宫图(除去空格)也有它的奇偶性,我们的定
理是:
所有的奇九宫图之间是可达的,所有的偶九宫图之间也是可达的,但奇九宫图和偶
九宫图之间互不可达。

二、问题的转化
为了证明上述定理,我想先对问题进行一下转化。我定义两种行序列的变换:一种
是空格@和相邻的数对换,一种是空格@和前后隔两个数的数之间的对换,前者对应着空
格在九宫图中的左右移动,后者对应着空格在九宫图中的上下移动。

引理一:在上述的两种对换下,序列的奇偶性不改变。 这个引理很容易证明。
首先,相邻的对换肯定不改变奇偶性;其次,隔两格的对换也不改变奇偶性,它相当于
三个数的轮换,我们可以自己列举一下几种情况验证一下。这就说明了奇九宫图和偶九
宫图之间是互不可达的。

引理二:转化后行序列在上面定义的两种对换下的任意操作,可以转换成九宫图中
空格的合法变化。 这个引理也是比较容易证明的。我们只要证明如下的几种状态之
间是互达的: a b c a b @ a b c a b c @ d e <=>
c d e d e f <=> d e @ f g h f g h @ g h f
g h 通过计算机搜索,可以发现上面两对状态之间的确是互达的。从而,我们可以
假定上面两种状态之间的转换可以用行序列中的两种邻对换来代替。
想提一点的是,九宫图之间的变换是可逆的。下面,到了问题的核心部分了。

引理三:所有的奇状态可以转换为 @ 1 2 3 4 5 6 7 8, 所有的偶状态
可以转换为 @ 2 1 3 4 5 6 7 8. 要证明这个引理,得分几个步骤。我的想法是先设
法把8移到最后一个,然后8保持不动(注意,我们这里的不动只是形式上不动,但不管怎
样,我们的每一个变换后,8还是保持在最后一个,余类似),再将7移到8之前,然后,
保持7和8不动,依次移动6,5,4,3,得到 * * * 3 4 5 6 7 8这里 * * *是 @ 1 2 的
一个排列。到这里,我想要得到前面的两种状态之一是显然的了。下面,我说明,上面
的想法是可以实现的。如下:
1. 对于 a b c @ ,我们可以将其中的任意一个移到
最后,并且对变换仅限于这四个位置上。显然,对于a,c是一步就可以做到的。对于b,
步骤如下: a b c @ -> @ b c a -> b @ c a -> b c @ a -> b c a @ -> @ c a b
2. 先把要移到最后位置的那个数移到最后四个位置之一,然后再将空格移到最后一
个位置,用1的方法将待移动的数变换到最后一个位置。循环这样做即可。 引理三证
毕。

证完了这三个引理,定理的成立就是显然的了。首先,将奇偶性相同的两种状态都
变换到上述两种标准状态之一,然后对其一去逆变换即可。以上是我的所有证明,有些
地方在计算机上写起来不是太清楚。

AC代码:(又臭又长)

#include <stdio.h>
int a[90010],b[90010],nxs;

void mergeSort(int first,int last)
{
    int mid,i;
    int begin,m,end;
    if(first+1<last)
    {
       mid=(first+last)/2;      
       //merge(first,mid,last);
       begin=first;
       m=mid;
       i=first;
       mergeSort(first,mid);
       mergeSort(mid,last);
       while(begin<mid && m<end)
       {
          if(a[begin]<=a[m])
          {
              b[i++]=a[begin++];         
          }
          else
          {
              b[i++]=a[m++];            
              //for(i=beginA;i<=mid;i++)
                  //printf("nixuyou:%d,%d\n",a[i],a[beginB]);
              nxs+=mid-begin;    
          }                   
       }                 
       while(begin<mid)
       {
          b[i++]=a[begin++];           
       }
       while(m<last)
       {
          b[i++]=a[m++];            
       }
       /*for(i=0;i<j;i++)
       {
          a[first+i]=b[i];               
       }*/
       while(first<last)
       {
          a[first]=b[first++];                
       }    
    }
}


int main()
{
   int n,sum,i,iwz,hangshu,hangshucha,panduanshu,j,x;
   while(scanf("%d",&n)==1 && n)
   {
        sum=n*n;
        j=0;
        for(i=0;i<sum;i++)
        {
            scanf("%d",&x);
            if(x==0)
            {  
                iwz=i;
            }       
            else
            {
                a[j]=x;
                j++;
            }
        }
        nxs=0;
        mergeSort(0,sum-1);
        //printf("nxs=%d\n",nxs);   
        if(n%2==1) //n为奇数
        {
              if(nxs%2==0)
                   printf("YES\n");
              else
                   printf("NO\n");        
        }
        else //n为偶数
        {
             hangshu=iwz/n;
             hangshucha=n-1-hangshu;
             //printf("hangshucha=%d\n",hangshucha);
             panduanshu=nxs+hangshucha;
             if(panduanshu%2==0)
                   printf("YES\n");
              else
                   printf("NO\n");     
        }                       
   }
   return 0;   
}

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